Burgis.lt » matematika

Šaknys būna saldžios, karčios, kvadratinės, kubinės…

Burgis — Fri, 20 Jan 2012 07:11:47 +0000

Vaikai, ar jūs žinote, kas yra jovalas? Tiesiogine prasme tai toks kiaulių ėdalas, o perkeltine prasme – kokia nors nevykusi, nepatraukli mišrainė… Kaip dabartinis mokyklos mokslas apie šaknis.
***
Pradėkime nuo ištakų.
Visi skaičiai yra kompleksiniai; kai kurie kompleksiniai skaičiai yra realieji; kai kurie realieji skaičiai yra racionalieji; kai kurie racionalieji skaičiai yra sveikieji; kai kurie sveikieji skaičiai yra natūralieji.

N-tojo laipsnio daugianario lygtis (laipsninių funkcijų su skaitiniais koeficientais algebrinė suma, prilyginta nuliui) visada turi lygiai n šaknų (sprendinių). Visada. Turi.
Jei lygties koeficientai yra realieji skaičiai, tai kiekvienai kompleksinei šakniai yra ir pora – jai jungtinė šaknis (nesvarbu, kad nesupratote!).
Iš to išplaukia, kad kvadratinė lygtis (kvadratinio trinario lygtis, daugianario, kurio aukščiausias laipsnis du, lygtis) visada turi du sprendinius. Du. Ne vieną. Negali neturėti nė vieno! Bet sprendiniai gali būti vienodi. Žinoma, gali!
Iš to išplaukia, kad kubinė lygtis visada turi tris sprendinius. Lygiai tris. Visada. Jei visi koeficientai – realieji skaičiai (mokykloje kitaip nebūna…), tai aišku (ar aišku?), kad bent vienas sprendinys yra realusis skaičius.
*
Tai kur čia kvadratinių ir kubinių (apie kitokias kol kas nekalbėsime…) šaknų problema? Problema, kad moksleiviai ir studentai dažnai nesuvokia, kaip jie išsprendžia lygtis!
Tai kvadratinė šaknis iš keturių yra tik du, ar du ir minus du? Kadaise atsakydavau taip: mokykloje – tik du, universitete – du ir minus du. Matematiškai: realiųjų skaičių aibėje – tik du, kompleksinių skaičių aibėje – du ir minus du. Dar kitaip: apibrėžus, kad mokyklinė (aritmetinė) šaknis yra neneigiamas skaičius iš neneigiamo skaičiaus (lengva įsiminti, nes skamba panašiai kaip Hamleto „Minėk maldoj manąsias nuodėmes, o nimfa!“) – tik du.
Bet jau ir tada kai kurie moksleiviai suglumę klausdavo: „O tai iš kur atsiranda minus du, išsprendus lygtį x^2-4=0?“ Galiu išsisukti atsakydamas, kad šiuo atveju jokių šaknų traukyti, pešioti, rauti nereikia: išskaidome (x-2)(x+2)=0 – ir visos problemos dingsta. Galėčiau paaiškinti ir su moduliu, bet kam tai įdomu?
*
Įdomiau, ką daryti su lygtimi x^3+8=0? Trauksime kubinę šaknį iš minus aštuonių? Trauksime mokykloje ar universitete? Universitete problemų nebus – ištrauksime ir gausime tris atsakymus. Tris. Jokiu būdu ne vieną! O mokykloje? Išsisuksime išskaidydami: (x+2)(x^2+2x+4)=0? Ar vis tik trauksime?
*
… Skaitytojų neliko, tai ir baigiu. Juk įspėjau – tai nebaigta paskaita…

Nebūk vidutinis, būk išskirtinis!

Burgis — Tue, 03 Jan 2012 08:56:25 +0000

Peržiūrėjau visus internete pateikiamus tetraedrų paveikslėlius. Tokio, kurį pasidariau pats, nėra. Pasidariau jį pagal Marcus du Sautoy knygą „The Number Mysteries“ – apie ją jau rašiau. Tas mano tetraedras – arbatos pakelio iliustracija. Vieno iš 100 svarbiausių XX amžiaus išradimų iliustracija!
*
Paimkite kvadratinį popieriaus lapelį ir susukite iš jo cilindrą. Segikliu susekite vieną cilindro galą. Pasukite cilindrą 90 laipsnių kampu ir segikliu susekite kitą cilindro galą. Štai jums tas išradimas!
*
Tuoj vėl kalbėsiu su savo moksleiviais, atsiliepusiais į prašymą duoti man darbo. Vakar jų jau buvo septyni! Šiandien jiems parodysiu tą tetraedrą. Ir dar šį tą… Ir pakviesiu kurti, išradinėti! Pavyzdžiui, ką nors panašaus…

*
Užjaučiu žmones, kurie susitaiko su vidutinių žmonių gyvenimu. Nėra tokių, kurie kaip nors, kuo nors negalėtų išsiskirti. Mezginiais, kepiniais, augintiniais (vaikais, gėlėmis, šuniukais…), namo interjeru, erudicija, dainavimu, ištverme, grožiu, gerumu… Ir t.t., ir pan. Jie man ir įdomūs, ir svarbūs! Jų nuomonę vertinu. Juos ir šioje svetainėje pastebiu.
*
Parašykite apie išskirtinumo kelius, parašykite!

Tikroji pasaulio mistika

Burgis — Thu, 01 Dec 2011 07:59:33 +0000

Vakar bendraujant su studentais vėl skaudžiai dilgtelėjo, kad niekas jiems neparodo esminių matematikos keistenybių… Gal todėl Lietuvoje toks gajus šamanizmas, astrologija, ekstrasensų „mokslas“, raganų veikla…
*
O juk užtenka stabtelti ties dviem skaičiais e ir pi, kad suprastum – pasaulio mistika čia pat. Pirma paskaitykite žiniatinklio humorą apie tuos skaičius – kodėl e geriau už pi:
*
1) e is easier to spell than pi.
2) pi ~= 3.14 while e ~=2.718281828459045.
3) The character for e can be found on a keyboard, but pi sure can’t.
4) Everybody fights for their piece of the pie.
5) ln(pi^1) is a really nasty number, but ln(e^1) = 1.
6) e is used in calculus while pi is used in baby geometry.
7) ‘e’ is the most commonly picked vowel in Wheel of Fortune.
8) e stands for Euler’s Number, pi doesn’t stand for squat.
9) You don’t need to know Greek to be able to use e.
10) You can’t confuse e with a food product.
***
Jau moksleiviai turi susidomėti, kaip čia yra su apskritimu: jei skersmuo – lygiai vienas metras, tai niekas tiksliai negali pasakyti (išmatuoti), kiek yra aplink, nes aplink yra pi… Viskas, kas apskrita, kažkodėl yra pi valdžioje. Kodėl?

***
Kelintą kartą apie tai rašau, kalbu? Jau nė nebesuskaičiuočiau… Kodėl rašau, kalbu? Todėl, kad sutinku tikėti, jog kūčių naktį kalba gyvulėliai, nes tai pokštas, bet nesmagu matyti ir girdėti, kaip žmonės visai rimtai tiki keistais dalykais…

Auksinė dėžutė

Burgis — Mon, 28 Nov 2011 14:11:14 +0000

Dirbu su Statybos ir architektūros fakulteto studentais. Žinau, kaip nieko nenusimanau statybose, todėl stengiuosi pasimokyti iš tų, kurių pašaukimas – statyba.
*
Šiandien pasiūliau tokį uždavinį.
Turime vieno kvadratinio decimetro ploto kvadratinę auksinę plokštelę. Norime iš jos pasigaminti didžiausio tūrio uždarą gretasienio formos dėžutę. Kokią išklotinės iškarpą pasirinktumėte?
*
Susidomėjau, kai studentas nuėjo prie lentos ir pasiūlė „įstrižą“ iškarpą. Niekada nebuvau pagalvojęs, kad gal taip gausime talpesnę dėžutę, negu iš „stačios“ iškarpos. Nutariau išspręsti tą uždavinį.
*
Atsiprašau, nemoku braižyti nei kompiuteriu, nei ranka, bet gal suprasite…

Pirmasis atvejis.

Antrasis atvejis.

Pastebėkite, kad pirmuoju atveju „važiavome aplink“, panaudojome išvestinę tik norėdami garantuoti, kad gautasis tūris yra maksimalus, o šiaip tas tūris buvo aiškus be jokios išvestinės. Pastebėkime, kad taip bandant padaryti kubo formos dėžutę (šiaip jau didžiausio tūrio dėžutę, kurios paviršiaus plotas nekeistinas…), gautume:

Šis tūris yra mažesnis už anksčiau gautąjį! O didžiausias tūris yra 1/32. Taigi, statybininkai…

******

Papildymas 2011 11 29.

O štai ir originalus sprendimas, kurį pasiūlė šios svetainės lankytoja (lankytojas?). Nors „dangtelis“ keistokas, bet už tai tūris – beveik pusantro karto (šaknis iš 2) didesnis už 1/32! Įdomu, gal galima dar?…

***

P.S. Nubraižiau visai kreivai, nes jūs vis tiek visai nevertinate mano darbo… Kas čia per reitingai?! O man vis tiek atrodo, kad tokia diskusija naudinga.

Kalėdinė dovana mano studentams

Burgis — Sun, 27 Nov 2011 10:30:09 +0000

Laikas! Paskui dovana nebus tokia vertinga…
Kartą užsiėmimo metu „gimė“ toks uždavinys.
***
Du šauliai pakaitomis šaudo į taikinį tol, kol kuris nors pataiko. Pirmojo šaulio taiklumas (tikimybė pataikyti vienu šūviu) yra 0,9, antrojo ta tikimybė yra 0,8. Žinoma, kad taikinys buvo numuštas kiekvienam šauliui iššovus ne daugiau kaip tris kartus. Tegu X – pirmojo šaulio šūvių skaičius, Y – antrojo šaulio šūvių skaičius.
Raskite atsitiktinio dydžio (X,Y) koreliacijos koeficientą ir regresijos tieses.
***
Pirmieji trys studentai, išsprendę šį uždavinį ir galintys sprendimą paaiškinti, pagrįsti, gaus plius penkis balus prie viso egzamino rezultato!
***
Aš jums padėsiu arba pakenksiu… Jei tai, ką dabar parašysiu, yra teisinga – pasinaudokite, jei ne – nenueikite šiuo klystkeliu…
***
Sudarykime vieno (pirmojo) šaulio šūvių skaičiaus skirstinį (antrojo šaulio išvis nėra!).
Kokia tikimybė šauliui numušti taikinį?
P(A) = 0,9 + 0,1*0,9 + 0,1*0,1*0,9 = 0,999.
Bet mes jau žinome, kad taikinys numuštas! „Patiksliname“ tikimybes, kad taikinys numuštas pirmuoju, antruoju ar trečiuoju šūviu:
P(A1) = 0,9/0,999 = 0,900900900…
P(A2) = 0,09/0,999 = 0,0900900900…
P(A3) = 0,009/0,999 = 0,00900900900…
Kokie įdomūs skaičiai! Tai ir yra skirstinio tikimybės. Bet gal aš klystu?…

Apie tą strypelį…

Burgis — Thu, 10 Nov 2011 09:36:22 +0000

Atsiprašau, kitiems tai nebus įdomu, net negaliu nurimti – mano studentai turi išmokti spręsti tokį paprastą uždavinį! Po vakarykščio bandymo su gyvais žmonėmis privalau parodyti, kad sprendimas gali būti paprastas ir aiškus.
*
Strypas perpjautas dviejose atsitiktinai pasirinktose vietose. Kokia tikimybė (įvykio T), kad iš gautų strypelių galima sudaryti trikampį?
*
Tarkime, kad strypo ilgis yra A, o po supjaustymo gautų dalių ilgiai yra x, y ir z.
Akivaizdu, kad turi būti teisinga lygybė x+y+z=A. Tai plokštumos lygtis! Vadinasi, visų galimų rezultatų aibė gali būti parodyta trikampiu pirmame oktante.

Trikampį iš strypelių galėsime sudaryti, jei bus teisingos nelygybės: x Analogiškai gausime x *
Išvada: neskubėkite patikėti, kad jus moko nesuprantamų dalykų!

P.S. 1) Paveikslėlį paėmiau iš savo „Niekam tikusios matematikos mokymosi knygos“, jis šiek tiek neatitinka teksto. 2) Įrodyme palieku klaidelę! Raskite ją.

Šventė studentams, šventė ir man

Burgis — Sat, 05 Nov 2011 12:56:29 +0000

Šventė! Auditorijoje – šimtas studentų! Tiek buvo nebent pirmojoje paskaitoje…
Pateikiu užduotis – visiems vienodas!
***
Pasirinkite ir atlikite TIK DVI užduotis iš pateiktųjų
1. Kvantiliai.
2. Iš pobūvyje surengtos loterijos m bilietų n yra „laimingi“ (n < m). Įrodykite, kad tikimybė tau ištraukti „laimingą“ bilietą nepriklauso nuo to, kelintas iš svečių eilės tu trauksi bilietą.
3. Įrodykite, kad lyginių skaičių kvadratai yra lyginiai skaičiai, o nelyginių skaičių kvadratai – nelyginiai skaičiai.
4. Karvelidėje yra keturios angos į narvelius. Atskrido trys balandžiai. Keliais būdais jie gali pasiskirstyti į narvelius? Kokia tikimybė, kad visi balandžiai pasirinks skirtingus narvelius?
5. Pateikite pavyzdį tokio tolydžiojo atsitiktinio dydžio, kurio mediana yra didesnė už vidurkį. Apskaičiuokite to dydžio medianą, vidurkį, x_0,1 kvantilį, dispersiją, standartą. Nubraižykite tankio ir pasiskirtymo funkcijų grafikus.
6. Pateikite pavyzdį tokio diskrečiojo atsitiktinio dydžio, kurio mediana yra mažesnė už vidurkį. Apskaičiuokite to dydžio medianą, vidurkį, kurį nors kvartilį, dispersiją, standartą. Nubraižykite pasiskirtymo funkcijos grafiką.
7. Uždavinys apie strypelį (lazdelę), supjaustytą į tris dalis.
***
Dabar taisau darbus. Renku pabiras… Kol kas (ištaisiau tik tuziną…) – vienas teigiamas iš dešimties. Pridėjus visas premijas.
Įrodymų! Įrodymų trūksta kaip oro… Nagi – kas nors įrodykite tai, ko prašoma antroje užduotyje. Įrodykite, o ne parodykite!

Kvantilis. Kuo tikėti? Vargšai studentai…

Burgis — Fri, 28 Oct 2011 08:44:15 +0000

kvantilis [lot. quantum — kiek], tikimybių teorijoje ir mat. statistikoje — atsitiktinio dydžio pasiskirstymo skaitinė charakteristika, pvz.: atsitiktinio dydžio X reikšmė kp, tenkinanti sąlygą P(X ≤ kp) ≥ p, P (X ≥ kp) ≤ p, yra p eilės kvantilis.
(http://www.zodynas.lt/tarptautiniu-zodziu/K/kvantilis)
***
Kvantilis tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje yra atsitiktinio dydžio skaitinė charakteristika, dalijanti variacinę eilutę į q ir (1-q) dalis. Vertinamas vienetais arba procentais. Jeigu pasižiūrėti iš tikimybinės pusės, tai k-tasis q-kvantilis kintamam dydžiui yra tokia x reikšmė, kad tikimybė, jog kintamas dydis bus mažesnis už x yra k/q, o tikimybė, kad kintamasis dydis bus didesnis už x yra (q-k)/q.
(http://www.tinklusaugumas.lt/cgi-bin/moin.py/Quantile)
***
kvantilis [lot. quantum — kiek], tikimybių teorijoje ir mat. statistikoje — atsitiktinio dydžio pasiskirstymo skaitinė charakteristika, pvz., atsitiktinio dydžio X reikšmė kp, tenkinanti sąlygą P(X ≤ kp) ≥ p, P (X ≥ kp) ≤ p, yra p eilės Δ.
(http://www.terminai.lt/zodynas/kvantilis)
***
Atsitiktinio dydžio X p-tuoju kvantiliu vadiname skaičių xp, su kuriuo
P(Xxp)
(čia => suprask „daugiau arba lygu“ – B.B.)
(Algimantas Aksomaitis. „Tikimybių teorija ir statistika“. Vadovėlis, 2000 m.)
***
The kth n-tile P_k is that value of x, say x_k, which corresponds to a cumulative frequency of Nk/n (Kenney and Keeping 1962). If n=4, the quantity is called a quartile, and if n=100, it is called a percentile.
(http://mathworld.wolfram.com/Quantile.html)
***
Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение Хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

F(Xq) = F(X < Xq) = q.

(http://ru.wikipedia.org/wiki)

***
Artėja egzaminas. Jokių komentarų!

Populiarūs uždaviniai – nepopuliarūs

Burgis — Wed, 12 Oct 2011 06:28:58 +0000

Ši tema pirmajame svetainės puslapyje ilgai neišliks… Komentarų bus nedaug. Reitingavusių bus nedaug. Temą teks perkelti į skyrių „Matematika“, o ten ją ir nusės laiko dulkės…
***
Bet kodėl taip?! Juk kartais įdomu skaityti tai, ko nemėgsti, spręsti kartu su autoriumi seniai pamirštus uždavinius. Pabandykite!
*
Studentas pasiūlė (savo ar kažkur surastą) uždavinį.
1. Knygoje – 50 puslapių. Trijuose iš eilės puslapiuose yra po eilėraštį (jis, pataikūnas, pasakė – po B.B. eilėraštį…). Kokia tikimybė, atvertus knygą, pamatyti eilėraštį?
Sprendimai. Šiek tiek supaprastinkime sąlygą. Tarkime, kad puslapiai numeruojami taip:
1, 2,
3, 4,
…
Pritaikykime apimties sumažinimo principą – tarkime, kad knygoje yra tik dešimt puslapių.

Matematika 11/1. Jums patiks!

Burgis — Sun, 28 Aug 2011 11:11:26 +0000

Jau kaip man nepatinka tekstai su formulėmis! Sudorojau su „Jing“, ačiū Jurgiui, bet dar turės mane pamokyti…